问题的根源还是出在近似值上。“五度相生律”所依据的（3/2）12毕竟和27并不完全相等。之所以会出现两种半音，就是这个近似值造成的。

　　对“五度相生律”12声音阶的进一步修改，东、西方也大致遵循了相似的路线。比如东晋的何承天（370 AD-447 AD），他的做法是把（3/2）12和27之间的差距分成12份，累加地分散到12个音阶上，造成一个等差数列。可惜这只是一种修补工作，并没有从根本上解决问题。西方的做法也是把（3/2）12和27之间的差距分散到其它音符上。但是为了保证主音C和属音G的3/2的比例关系（这个“纯五度”是一个音阶中最重要的和谐，即使是在12声音阶中也是如此），这种分散注定不是平均的，最好的结果也是12音中至少有一个“不在调上”。如果把差距全部分散到12个音阶上的话，就必须破坏C和G之间的“纯五度”，以及C和F之间的4/3比例（术语是“纯四度”）。这样一来，虽然方便了转调，但代价就是音阶再也没有以前好听了。因为一个八度之内最和谐的两个关系 ―― 纯五度和纯四度 ―― 都被破坏了。

　　一直到文艺复兴之前，西方音乐界通行的律法叫“平均音调律”（Meantone temperament），就是在保证纯五度和纯四度尽量不受影响的前提下，把（3/2）12和27之间的差距尽量分配到12个音上去。这种折衷只是一种无可奈何的妥协，大家其实都在等待新的音律出现。

　　终于还是有人想到了彻底的解决办法。不就是在一个八度内均分12份吗？直接就把2:1这个比例关系开12次方不就行了？也就是说，真正的半音比例应该是2^1/12。如果12音阶中第一个音的频率是F，那么第二个音的频率就是21/12F，第三个音就是2^2/12F，第四个音是2^3/12F，…… ，第十二个是2^11/12F，第十三个就是2^12/12F，就是2F，正好是F的八度。　这是“转调”问题的完全解决。有了这个新的音律，从任何一个音弹出的旋律可以复制到任何一个其它的音高上，而对旋律不产生影响。西方巴洛克音乐中，复调音乐对于多重声部的偏爱，有了这个新音律之后，可以说不再有任何障碍了。后来的古典主义音乐，也间接地受益匪浅。可以说没有这个新的音律的话，后来古典主义者、浪漫主义者对于各种音乐调性的探索都是不可能的。

　　这种新的音律就叫“十二平均律”。首先发明它的是一位中国人，叫朱载堉（yù）。他是明朝的一位皇室后代，生于1536年，逝世于1611年。他用珠算开方的办法（珠算开12次方，难度可想而知），首次计算出了十二平均律的正确半音比例，其成就见于所著的《律学新书》一书。很可惜，他的发明，和中国古代其它一些伟大的发明一样，被淹没在历史的尘埃之中了，很少被后人所知。

　　西方人提出“十二平均律”，大约比朱载堉晚50年左右。不过很快就传播、流行开来了。主要原因是当时西方音乐界对于解决转调问题的迫切要求。当然，反对“十二平均律”的声音也不少。主要的反对依据就是“十二平均律”破坏了纯五度和纯四度。不过这种破坏程度并不十分明显。

　　“十二平均律”的12声音阶的频率（近似值）分别是：F（C）、1.059F（C#/Db）、1.122F（D）、1.189F（D#/Eb）、1.260F（E）、1.335F（F）、1.414F（F#/Gb）、1.498F（G）、1.587F（G#/Ab）、1.682F（A）、1.782F（A#/Bb）、1.888F（B）。

　　注意，所有的半音都一样了，都是21/12，即1.059。以前的自然半音和变化半音的区别没有了。另外，原来“五度相生律”的12音阶中，C和G的比例是3/2（即纯五度），“十二平均律”的12音阶中，C和G的比例是1.498，和纯五度所要求的3/2（1.5）非常接近。原来“五度相生律”的12音阶中，C和F的比例是4/3（即纯四度），“十二平均律”的12音阶中，C和F的比例是1.335，和纯四度所要求的4/3（1.333）也非常接近。所以“十二平均律”基本上保留了“五度相生律”最重要的特性。又加上它完美地解决了转调问题，所以后来“十二平均律”基本上取代了“五度相生律”的统治地位。钢琴就是按“十二平均律”来确定各键音高的。学生们学习的do、re、mi也是按“十二平均律”修改过的7声音阶。如果想听“五度相生律”或者“纯律”的do、re、mi，已经很不容易了。

　　频率

　　将八度音等分为十二等分，其数学意义如下：

　　八度音指的是频率加倍（即二倍频率）。因此在八度音中分为十二等分乃是分为十二个等比级数，其结果就是每个音的频率为前一个音的2开12次方倍（）。

　　十二平均律中各音的频率（0.00001 Hz）

　　C4: 261.62557 Hz

　　#C4: 277.18263 Hz

　　D4: 293.66477 Hz

　　#D4: 311.12698 Hz

　　E4: 329.62756 Hz

　　F4: 349.22823 Hz

　　#F4: 369.99442 Hz

　　G4: 391.99544 Hz

　　#G4: 415.30470 Hz

　　A4: 440.00000 Hz

　　#A4: 466.16376 Hz

　　B4: 493.88330 Hz

　　C3: 523.25113 Hz

　　理论上来说，所有乐器的音准只需要仪器来校准。但是实践证明，十二平均律仅仅在中低频率适用于人对音阶感觉，当频率较高时（往往大于1500Hz），人感觉上的音阶较实际计算的十二平均律偏高，所以乐器的调音师是不可被仪器替代的。为了声音的协和，实际上钢琴各个键的音高也并不是严格按照十二平均律来调音的，在中音区，严格按照十二平均律来调音；在高音区，倾向于五度相生律，即半音变小；在低音区，倾向于纯律，半音变宽（音程的大小也就是两个音高的比值，从钢琴的调音曲线上看，高音区音高偏高，低音区偏低，这是为了使声音协和，高音半音减小，低音半音增大，分数的分子和分母同时增大或较小，会引起比值减小或增大，引起半音发生变化，从物理意义上说，主要是琴弦两端的约束造成的）。

　　正式的交响乐校音的基本a1的频率往往不是440Hz，为了让音乐更为明亮，交响乐的基准频率一般会提高至442Hz左右。